토목구조기술사 127회 3-4 (처짐각법과 강성매트릭스의 연결)

1.개요

이번 문제는 최소일의 원리나 카스틸리아노의 정리 등 여러 가지 방법으로 해석할 수 있습니다. 단순히 전달률 (C_AB)와 (C)점의 수직처짐 (δ_CV)만을 구하는 것이 목적이라면 이러한 에너지법을 이용하는 것도 충분히 좋은 접근입니다. 그러나 이번 포스팅에서는 조금 다른 관점에서 문제를 살펴보고자 합니다.

이번 풀이의 주된 목적은 처짐각법(Slope-Deflection Method)이 강성 매트릭스 해석법으로 어떻게 자연스럽게 연결되는지를 보여드리는 것​입니다. 처짐각법의 기본식은 부재 단부의 회전각과 절점변위를 이용하여 단부모멘트를 표현합니다. 그런데 여러 부재가 연결된 구조물에서 이러한 관계식을 절점별로 정리하고 평형조건을 적용하면, 우리가 매트릭스 구조해석에서 익숙하게 접하는

[K]{d}={P} 형태의 연립방정식이 자연스럽게 만들어집니다.

즉, 강성행렬은 어느 순간 갑자기 등장한 별개의 계산법이라기보다 각 부재의 변위와 부재력 사이의 관계를 체계적으로 정리한 결과라고 볼 수 있습니다. 특히 휨부재의 경우에는 처짐각법에서 사용하던 단부모멘트-절점회전-절점변위 관계가 강성행렬을 구성하는 과정과 직접적으로 연결됩니다.

따라서 이번 문제에서는 (A)점과 (C)점의 회전각, 그리고 (C)점의 수직변위를 구조물의 자유도로 설정한 뒤, 각 부재에 처짐각법을 적용하겠습니다. 이후 절점의 평형조건을 이용하여 세 개의 연립방정식을 만들고, 이를 행렬 형태로 정리하여 강성방정식을 구성해 보겠습니다. 이 과정을 따라가다 보면 처짐각법에서 사용하던 각각의 식이 어떻게 강성행렬의 한 행(row)을 이루게 되는지, 그리고 구조물의 자유도와 절점평형이 강성 매트릭스 해석에서 어떤 의미를 갖는지를 보다 직관적으로 확인할 수 있습니다.

물론 실제 매트릭스 구조해석에서는 부재 강성행렬을 직접 구성하고 좌표변환과 조립 과정을 거치는 것이 일반적입니다. 하지만 그 결과만 암기하기보다는, 이번 문제처럼 간단한 구조물을 처짐각법에서 출발하여 직접 행렬 형태로 만들어 보면 고전적인 처짐각법과 현대적인 강성 매트릭스법이 본질적으로 같은 변위법 계열의 해석법이라는 점을 이해하는 데 도움이 될 것입니다.

따라서 이번 포스팅에서는 단순히 정답을 산정하는 것보다는 ‘처짐각법 → 절점 평형조건 → 연립방정식 → 강성행렬’로 이어지는 과정과 그 의미를 확인하는 것​에 초점을 맞추어 문제를 풀어보겠습니다.

2.문제풀이

(1) 절점 모멘트 

(2) 구조물 자유도

(3) 처짐각법

(4) 경계조건

① A점에서의 모멘트 

② C점에서의 모멘트 

③ C점에서의 전단력 평형 

위의 처짐각법 대입 시,

(5) 연립방정식 풀이 (강성 매트릭스의 유도)

3개의 선형 방정식을 풀기위해 매트릭스꼴로 정리하면 구조물 강성행렬이 완성됩니다.

 

따라서 강성행렬의 역행렬을 하중에 곱하게 되면 다음과 같이 산정 됩니다.

따라서 C점의 수직처짐은 다음과 같습니다. (하향처짐 발생)

(6) A에서 B로의 전달률 산정 (절점 모멘트 산정)

위에서 산정한 변위값을 처짐각식에 대입하게 되면 절점 모멘트가 산정됩니다.

우리의 관심사는 B에서의 절점 모멘트 입니다. 이를 통해 전달률을 산정할 수 있기 때문입니다.

따라서 전달률은 다음과 같이 산정됩니다.

3.마무리하며

이번 문제는 최소일의 원리나 카스틸리아노의 정리 등 에너지법을 이용해서도 충분히 해결할 수 있는 문제입니다. 다만 이번 포스팅에서는 정답을 빠르게 구하는 것보다는 처짐각법에서 출발한 관계식이 어떻게 강성 매트릭스의 형태로 발전하는지를 살펴보는 데 조금 더 의미를 두었습니다.

처짐각법에서는 각 부재의 단부모멘트를 절점의 회전각과 수직변위로 표현합니다. 그리고 절점에서의 모멘트 평형과 전달력의 평형을 적용하면 구조물의 자유도 수만큼 연립방정식을 구성할 수 있습니다. 이번 문제에서는 이를 행렬로 정리함으로써 자연스럽게

[K]{d}={P} 형태의 강성방정식을 얻을 수 있었습니다.

결국 강성 매트릭스법은 처짐각법과 전혀 동떨어진 새로운 해석법이 아닙니다. 두 방법 모두 구조물의 절점변위를 미지수로 선택하고, 그 변위와 부재력의 관계를 이용하여 구조물을 해석하는 ​변위법(Displacement Method)이라는 동일한 뿌리를 가지고 있습니다. 처짐각법에서 하나씩 작성하던 부재 단부모멘트 관계와 절점 평형식을 보다 체계적이고 일반적인 형태로 정리한 것이 강성 매트릭스법이라고 이해하면 두 해석법의 연결관계가 훨씬 명확해집니다.

특히 휨부재의 강성행렬을 처음 접하면 (4EI/L), (2EI/L), (6EI/L^2), (12EI/L^3)과 같은 항들이 다소 기계적으로 느껴질 수 있습니다. 하지만 처짐각법을 통해 직접 관계식을 구성해 보면 이러한 계수들이 임의로 만들어진 것이 아니라 부재의 회전과 병진에 따른 단부력 관계에서 자연스럽게 등장하는 값이라는 것을 확인할 수 있습니다.

따라서 매트릭스 구조해석을 공부할 때에는 완성된 강성행렬 자체를 암기하는 것에 그치기보다는, 한 번쯤은 이번 문제처럼 처짐각법 → 절점 평형 → 연립방정식 → 강성행렬의 흐름을 직접 따라가 보는 것을 권하고 싶습니다. 이러한 연결고리를 이해하고 나면 이후 프레임 요소의 강성행렬이나 전체 구조물의 강성행렬을 조립하는 과정 역시 단순한 공식의 나열이 아니라 기존 구조해석 이론의 자연스러운 확장으로 받아들일 수 있습니다.

---

오레오구조 카카오톡 오픈채팅방 안내

응용역학 및 구조역학을 공부하시는 분들과 함께 문제와 풀이 방법을 공유하기 위해 오레오구조 카카오톡 오픈채팅방을 운영하고 있습니다.

7·9급 공무원 응용역학을 비롯하여 5급 공채 구조역학, 구조역학 및 응용역학에서 공부하다 궁금했던 내용이나 함께 살펴볼 만한 기출문제가 있다면 자유롭게 이야기해 주세요. 단순히 정답을 구하는 것보다는 같은 문제를 더 쉽고 빠르게 풀 수 있는 방법, 서로 다른 해석법 사이의 연결관계, 시험장에서 활용할 수 있는 풀이 전략 등을 함께 공유하는 공간으로 운영하고자 합니다.

실시간으로 모든 질문에 답변드리기는 어렵지만, 채팅방에 올라오는 좋은 질문이나 재미있는 문제들은 모아두었다가 블로그 포스팅이나 해설을 통해 가능한 범위에서 다뤄보겠습니다. 다만 학부 과제나 숙제를 대신 풀어드리는 목적의 질문은 지양하고 있으니 참고 부탁드립니다.

관심 있으신 분들의 많은 참여 부탁드립니다.

https://open.kakao.com/o/pfJPsREi

오레오구조